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本专栏定位于介绍《九章算术》背后隐藏的汉代社会经济历史。
第二章“粟米”，简单说，就是计算谷物粮食的按比例折换。粮食是人类生存发展的头等大事。粮食充裕，国家富强；粮食匮乏，天下大乱。汉高祖刘邦即位7年（前198年），定都长安，根据萧何的建议，在长安建武库和太仓。到汉武帝时，“山东漕益六百万石，一岁之中，太仓、甘泉仓满。”“太仓之粟，陈陈相因，充溢露积于外，至腐败不可食。”（《史记·平准书》）。正是因为手里有粮，汉武帝才能开疆扩土，扬威域外。
当我们把通史读完，对一些历史素材都耳熟能详了，还该读什么方面内容的史书？《食货志》啊。用数学描述的历史最能发现历史深层的规律。上一章是“种田”，这一章就是收获“粮食”并且合理分配它。
从前有笑话种地农民的段子，说两个老农在田里锄完地，歇息那一会聊天，猜测皇上都干什么什么好东西。一个老农说，“皇上不干活，能天天光着膀子晒太阳”；另一个老农说，“那还用说，天天吃大白面馒头嘞。”往深处想，这可不算冷笑话，农民和皇上就隔着一层馒头的关系。农民种地打粮食，蒸出大白面馒头肯定是皇上吃的最多。但若是哪天皇上吃太多了，农民连馒头渣也吃不上了，农民就要造反了，也许这天下就要换主人了，农民也可能坐上龙椅，比如朱元璋。
中国历代封建王朝更迭的最大秘密就是——粮食。
中国王朝更替的粮食原因
这一章的数学知识相对简单，但是历史背景资料比较重要。先看章节之初写的什么：
粟米之法：
粟率五十，粝米三十，粺米二十七，糳米二十四，御米二十一，小䵂十三半，大䵂五十四，粝饭七十五，粺饭五十四，糳饭四十八，御饭四十二，菽、荅、麻、麦各四十五，稻六十，豉六十三，飧九十，熟菽一百三半，糵一百七十五。
有不常用字，乍看不大好懂，这是20来种谷物、米和饭食的兑换比率。我先解释“粟”，禾本科一年草生植物，我国北方古代粮食作物，去皮后就是“小米”，在本书里称为粗米，在南方指谷子。“粟米之法”就是以“粟米”为标准兑换各种粮食，这是古代“以物易物”贸易方式的体现。到了商周时代，我国才有明确意义上的货币，物品交换开始通过货币进行间接交换，这是商品经济发展的必经阶段。
这是一张《秦汉时代粮食换算表》（注意：有错误之处，后面我们会提到）。
这段话翻译一下：
以粟米为标准兑换粮食的比例表：
谷子50升加工，（分别等价于），去皮得糙米30升，舂米得粗米27升，舂米得精米24升，舂米得贡米21升，磨为面粉13.5升，麸皮54升，糙米饭75升，精米饭48升，贡米饭42升，大豆、小豆、芝麻、麦各45升，稻谷60升，豆豉63升，泡饭90升，煮大豆103.5升，芽麦175升。
如果算兑换比例，举一个例子：
谷子：糙米=50:30
这样看来，汉代人能吃的饭食种类也不少。是的，古人不但重视吃饱饭，还重视吃好饭。
在这个成都出土的汉画像砖上的《庖厨图》，你能看到什么？一群厨师正在在厨房内外忙碌。一个高大的屋棚下有一立架，架上自左向右挂着四条鱼和两只鸟。架子右前方，一人跪坐在地，左手扶鱼，右手拿刀，正加工鱼。架子左前方，一人牵着一只羊正进入棚内，羊儿因惧怕而向后挣扎。画面的左下角设有一灶，灶上放置一鼎，灶前跪坐一人正持长管吹气助火。画面右下角有一个案台，案台的左右各站一人，他们在案台上的容器内加工食物。画面下部正中的地上放置一容器，一人跪于旁边在清洗，旁边有一只狗，正懒洋洋地扭头观望。
下面看几道典型例题：
1.今有粟一斗，欲为粝米。问得几何？答曰：为粝米六升。
术曰：以粟求粝米，三之，五而一。
解：1斗为10升。
2.今有出钱五百七十六，买竹七十八个。欲其大、小率之，问各几何？
答曰：其四十八个，个七钱。
其三十个，个八钱。
解：“欲其大、小率之，”意思就是欲以大小竹为单位进行计算。注意，这个问题有隐藏条件：竹子论根，不能劈开；钱是最小单位，不存在不是整数的钱。不然没法理解下面答案。
余数是30，故粗竹根数是30个，细竹根数就是78-30=48（个）。
细竹每根价7钱，粗竹每根价（576-48×7）÷30=8（钱）。
数学原理用到“带余除法”，不细解释，就问你答案对不对？其实《九章算术》本章里有比这更复杂的题，我只是想让大家约略知道这本书讲什么。
下面就本章节涉及的一些历史背景知识适当介绍一下。
本章的《秦汉时代粮食换算表》是否是实际中用到的粮食换算表？
中国古代“粟米”起了货币等价物的作用。王祯《农书·百谷谱·谷属·粟》说，“夫粟者，五谷之长，中原土地平旷，惟宜种粟。古今谷禄，皆以是为差等；出纳之间，皆以为准则。”
这种加工比例在古代是有明确规定的。例如，《说文解字》，“粟重一䄷，为十六斗太半斗，舂为米一斛曰䊪（粝）。”加工比率为16.6:10，就是5:3。说明此表可信。东汉郑玄注《诗·大雅·招旻》，“米之率，粝十、粺九、糳八、侍御七。”这个和本表比例一样。
但是，也有个问题，本表中说，“粺米二十七，糳米二十四”；而按《说文解字》，粺米精于糳米。1976年，云梦秦简出土，根据其中的《秦律·仓律》，内容与《说文解字》相同，其他种类比率则与《九章算术》相同。这说明《说文解字》的纪录是正确的，而《九章算术》在这个细节记错了或者被抄错了。
另外，清代学者段玉裁注解《说文解字》的时候，对照《九章算术》发现了这个问题，他误以为《九章算术》的记录是对的，故而修改了《说文解字》原来的内容，并在注解中注明了修改原因。
今后使用《说文解字》要注意这个问题。
另外，这张表主要反映的是体积换算，并不一定代表真实价值，所以只能参考着使用。
汉朝曾巧妙使用控制酒曲等粮食政策控制匈奴。
《汉书·匈奴传》载，匈奴“逐水草迁徙，无城郭常居耕田之业”，随嫁匈奴的中行说也说，“匈奴之俗，食畜肉，饮其汁，衣其皮，畜食草饮水，随时转移”。《淮南子·原道训》说，“雁门之北，狄不谷食”。《盐铁论·备胡》说:“匈奴……内无室宇之守，外无田畴之积，随美草甘水而驱牧”。在古人眼里，匈奴人只会放牧，不会耕种。
但是蒙古国在公元前三世纪以前的匈奴方形古墓中发现了与农业有关的石臼。又在公元前二至一世纪的诺颜山匈奴墓出土的大型陶器里，发现有不少盛有谷物和农作物的种籽。说明西汉时期匈奴人很看重谷物，甚至把粮食作为陪葬品与死者一起埋入坟墓。在其他地区也出土了公元前一世纪匈奴人使用的铁镰、铁烨等农业生产工具。这种情况与汉人因和亲或者被掳大量流入有关，随着汉人流入，匈奴的农业也逐步发展起来。
《史记·卫将军骠骑列传》，武帝元狩四年（前119年），卫青出击匈奴，“至窴颜山(约在蒙古国杭爱山西南)赵信城，得匈奴积粟食军。军留一日而还，悉烧其城余粟以归。”《汉书·匈奴传》：降将李广利被杀时，漠北“会连雨雪数月，畜产死，人民疫病，谷稼不孰。”汉宣帝地节四年（前66年），“匈奴怨诸国共击车师，遣左右大将各万余骑屯田右地，欲以侵迫乌孙西域。”这些资料表明，在汉人带动下，匈奴也有一定的农业发展。
根据《史记·卫将军骠骑列传》记载，卫青与霍去病出兵各带50000骑出击赵信城，“青捕虏知单于所居，乃自以精兵走之”。在到达赵信城之前，经历一场恶战，“杀伤大当……颇捕斩首虏万馀级”，大军到达赵信城时估计有30000骑。因此，每人一天消耗6升粟米，马一天消耗1.2升粟米，算上烧掉的，估计至少赵信城至少有4万多石粮食。汉代一般亩产3石粟，相当于约1.5万亩田产量。由于汉朝连年讨伐，前后四年间汉匈之间发生大小6次战争，匈奴掠夺不了这么多粮食。这说明匈奴农业也发展到一定规模。
匈奴的经济是脆弱的，容易受自然灾害影响。《史记·匈奴列传》，元封六年（前105年），“其冬，大雨雪，畜多饥寒死。”《汉书·匈奴传》，本始二年（前72年）“其冬，单于自将万骑击乌孙，颇得老弱，欲还。会天大雨雪，一日深丈余，人民畜产冻死，还者不能什一。”
不断的天灾，以及与汉朝日益加深的交往，使匈奴在农耕产品上越来越依靠汉朝。汉朝降将赵信与卫律建议匈奴筑城，改变了匈奴原先“逐水草迁徙”生活形态，使他们需要稳定的物资供给，无形之中加重了对汉朝农耕产品的依赖度。
匈奴所处地区寒冬较长，饮食中又以肉食为主，喝酒不但能御寒，也能消食，而匈奴人自酿的挏马酒（以马乳汁为原料）度数不高，需要从汉朝输入用粮食酿造的度数高的粮食酒。由于匈奴需要的粮食酒数量太多，这让汉朝的贾谊联想到可以用粮食酒控制匈奴。
贾谊《新书》：
夫关市者，固匈奴所犯滑而深求也，愿上遣使厚与之和，以不得已，许之大市。使者反，因于要险之所，多为凿开，众而延之，关吏卒使足以自守。大每一关，屠沽者、卖饭食者、羹臛炙膹者，每物各一二百人，则胡人着于长城下矣。是王将彊北之，必攻其王矣。以匈奴之饥，饭羹啗膹炙，喗滪多饭酒，此则亡竭可立待也。赐大而愈饥，财尽而愈困，汉者所希心而慕也。则匈奴贵人，以其千人至者，显其二三；以其万人至者，显其十馀人。夫显荣者，招民之机也，故远期五岁，近期三年之内，匈奴亡矣。此谓德胜。
不具体翻译，意思是通过“关市”以先进的农耕经济物质文明征服匈奴人心的策略，所以说“此谓德胜”。“言汉许匈奴大市，阴以汉物耗匈奴之财”。也就是:“给的赏赐愈多，他们愈加感到饥饿，给的钱财愈多，他们愈加感到穷困，汉朝便成了他们倾心向往的地方了。”因为当匈奴适应汉家文化后，自然就认可汉家，也就心往之。
汉朝皇帝采纳了这些建议，《史记·匈奴列传》写，“今帝即位，明和亲约束，厚遇，通关市，饶给之。匈奴自单于以下皆亲汉，往来长城下”；《汉书·匈奴传》，“武帝即位，明和亲约束，厚遇关市，饶给之。匈奴自单于以下皆亲汉，往来长城下”。