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北京中考数学作为全国教育的先行者，一直在全国的中考数学占据重要的地位，出题的创新性非常的强，其次在于统计概率的应用中，也占据的重要的地位。同时在题目的设计整点问题和交点个数问题成为全国中考其他地方借鉴的标准。例如济南2018年中考12题借助2016北京中考压轴原题等。其他的题目在全国各地的模拟题和真题作为母题或者原题出现。今天我们分析北京中考数学压轴题目分析。
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整点问题
（2019·北京·25）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线＝﹣k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．
（1）求直线l与y轴的交点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．
①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；
②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．
【分析】
（1）令x＝0，y＝1，
直线l与y轴的交点坐标（0，1）；
（2）①当k＝2时，
A（2，5），B（﹣，﹣2），C（2，﹣2），
在W区域内有6个整数点；
②当k＞0时，区域内必含有坐标原点，
故不符合题意；
当k＜0时，W内点的横坐标在k到0之间，
故﹣1≤k＜0时，W内无整点；
当﹣2≤k＜﹣1时，
W内可能存在的整数点横坐标只能为﹣1，此时边界上两点坐标为M（﹣1，﹣k）和N（﹣1，﹣k+1）；
当k不为整数时，
其上必有整点，但k＝﹣2时，只有两个边界点为整点，故W内无整点；
当k≤﹣2时，
横坐标为﹣2的边界点为（﹣2，﹣k）和（﹣2，﹣2k+1），线段长度为﹣k+1＞3，故必有整点．
【解答】
解：
（1）令x＝0，y＝1，
∴直线l与y轴的交点坐标（0，1）；
（2）由题意，A（k，k2+1），B（，﹣k），C（k，﹣k），
①当k＝2时，A（2，5），B（-2/3，﹣2），C（2，﹣2），
在W区域内有6个整数点：（0，0），（0，﹣1），（1，0），（1，﹣1），（1，1），（1，2）；
②当k＞0时，
区域内必含有坐标原点，故不符合题意；
当k＜0时，
W内点的横坐标在﹣1到0之间，故﹣1≤k＜0时W内无整点；
当﹣2≤k＜﹣1时，
W内可能存在的整数点横坐标只能为﹣1，此时边界上两点坐标为M（﹣1，﹣k）和N（﹣1，﹣k+1），MN＝1；
当k不为整数时，
其上必有整点，但k＝﹣2时，只有两个边界点为整点，故W内无整点；
当k≤﹣2时，
横坐标为﹣2的边界点为（﹣2，﹣k）和（﹣2，﹣2k+1），线段长度为﹣k+1＞3，故必有整点．
综上所述：﹣1≤k＜0或k＝﹣2时，W内没有整数点；
【点评】
本题考查一次函数图象上点的特征；能够数形结合解题，根据k变化分析W区域内整数点的情况是解题的关键．
（2018·北京·23）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y＝+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．
（1）求k的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．
①当b＝﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；
②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．
【分析】
（1）把A（4，1）代入y＝中可得k的值；
（2）直线OA的解析式为：y＝x，可知直线l与OA平行，
①将b＝﹣1时代入可得：直线解析式为y＝x﹣1，画图可得整点的个数；
②分两种情况：直线l在OA的下方和上方，画图根据区域W内恰有4个整点，确定b的取值范围．
【解答】
解：
（1）把A（4，1）代入y＝得k＝4×1＝4；
（2）①当b＝﹣1时，直线解析式为y＝x﹣1，
解方程＝x﹣1得x1＝2﹣2（舍去），
x2＝2+2√5，则B（2+2√5，（√5-1）/2），
而C（0，﹣1），
如图1所示，区域W内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个；
②如图2，直线l在OA的下方时，当直线l：y＝+b过（1，﹣1）时，b＝-5/4，
且经过（5，0），
∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围
是-4/5≤b＜-1．
如图3，直线l在OA的上方时，
∵点（2，2）在函数y＝k/x（x＞0）的图象G，
当直线l：y＝1/4x+b过（1，2）时，b＝7/4，
当直线l：y＝1/4x+b过（1，3）时，b＝11/4，
∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围
是7/4＜b≤11/4．
综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是--5/4≤b＜-1或7/4＜b≤11/4．
【点评】
本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想．
（2016·北京·27）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当m＝1时，求线段AB上整点的个数；
②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．
【分析】
（1）利用配方法即可解决问题．
（2）①m＝1代入抛物线解析式，求出A、B两点坐标即可解决问题．
②根据题意判断出点A的位置，利用待定系数法确定m的范围．
【解答】
解：
（1）∵y＝mx²﹣2mx+m﹣1＝m（x﹣1)²-1，∴抛物线顶点坐标（1，﹣1）．（2）①∵m＝1，∴抛物线为y＝x²﹣2x，令y＝0，得x＝0或2，不妨设A（0，0），B（2，0），∴线段AB上整点的个数为3个．②如图所示，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，∴点A在（﹣1，0）与（﹣2，0）之间（包括（﹣1，0）），当抛物线经过（﹣1，0）时，m＝1/4，当抛物线经过点（﹣2，0）时，m＝1/9，∴m的取值范围为1/9＜m≤1/4．
【点评】
本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
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