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摘 要：在进行接触分析时，如何满足接触边界上的约束条件，是影响总体计算精度的主要原因。经典的接触算法有拉格朗日乘子法和罚函数法，它们在与接触碰撞分析常用的显式求解方法结合时会遇到很多问题。为克服上述困难，本文在有限质点法的基础上提出了一种适用于显式求解的接触计算方法，并将其应用于梁-梁接触(非光滑)问题的求解，且能推广到点-面接触问题。相关数值算例体现了该方法的可行性和有效性。
1 引言
和点—面接触模型一样，基于线—线模型的接触问题，如梁—梁、索—杆等，是接触问题的一个重要分支，近年来得了不少学者的关注。Simo[1]将有限元法与罚函数法相结合对此问题进行了研究;Wrigger[2]基于有限元方法提出了一种新的界面摩擦准则求解梁-梁接触问题;喻莹[3]将有限质点法与罚函数法相结合对此问题进行了研究;Repupilli[4]在拉格朗日乘子法的基础上提出了接触约束法研究了该问题。经典的接触算法有拉格朗日乘子法和罚函数法[5]，拉格朗日乘子法虽然是一种精确的方法，但其与接触碰撞分析常用的显式求解方法很难兼容，需要求解联立方程组，计算比较复杂;罚函数法虽然比较简单，且很容易与显式求解相容，但罚函数的引入会产生如下问题：(1)罚函数的确定经验性很强，一般需要通过多次试算确定;(2)它会改变系统的特征频率，进而改变系统的临界时间步长，罚函数越大，临界时间步长越小，导致计算量大幅增大;(3)它允许节点穿透接触面，因此会引入人为的仿真误差，当罚参数过小时，这种误差会更大，甚至会得到错误的结果。
有限质点法(finite particle method, 简称FPM)是一种新型的数值方法[6]，目前已经应用于无穷小机构、可展结构、接触碰撞、结构倒塌破坏、结构屈曲、索杆结构、平面固体大变形、膜结构的找形及褶皱、结构多尺度精细化等方面的研究[7-15]，均取得了较好的效果。
为了既保证计算的精确性，又避免求解方程组，本文在有限质点法的基础上提出了一种适用于显式求解的接触计算方法，并将其应用于梁-梁接触问题的求解，包括光滑接触与非光滑接触。
2 空间梁系结构的质点描述
3 梁-梁接触
接触侦测的全局粗略搜索方法有很多，如包围盒法等，不再详述，在这里主要推导接触力的计算过程。该方法基于线—线接触模型，基本思想是在发生接触的梁单元(线-线)之间分别施加法向排斥力和切向摩擦力，通过求解质点运动控制方程来对它们的位置进行修正，将发生接触的梁单元接触对推到临界位置处。法向排斥力和切向摩擦力分别按照临界接触条件和库伦摩擦准则确定。
如图2，设梁单元与梁单元之间的最近点为，，为保证不发生贯穿，以它们之间的距离作为接触判别参数，当小于给定临界阀值时，则说明发生接触。
从上面的推导过程可以发现，的定义把线-线接触模型简化为三维空间“两球”碰撞问题，其优点是可以通过两“球心”的相对位置直接确定，确保不会发生贯穿。
对于非光滑接触，还需要计算其切向摩擦力。假设梁单元，在最近点，处发生粘着，引入接触点处切平面内的约束条件，即在切平面上相对静止。按照计算法向接触力同样的方法可以求出此时满足该条件的切向摩擦力。
接触判定过程中一个最关键步骤是确定空间梁单元的最近点，可简化为空间直线的最近点问题。传统的方法是将直线写成空间对称式，然后通过公垂线与两直线相互垂直的关系求解方程组，显然此方法程序化效率低，在此给出一种高效的计算方法。在空间中的两条直线可以分别表示为：
式(14)在平面内为直线相交情况，在空间中即为其最近点的情形。最后将、带入式(13)并综合考虑梁单元边界确定最近点以及相应的最近距离。
4 数值算例
本节通过一个着名的双悬臂梁接触算例来验证本文方法在处理梁-梁接触问题时的可行性和有效性。如图3，当其中一根悬臂梁在集中力作用下发生变形，端部将与另一悬臂梁发生接触。相关尺寸参数在图
采用位移控制的加载策略，并用本文提出的接触算法求解此问题。加载点的荷载位移曲线及接触力的变化曲线如图4所示，上、下部悬臂梁在A处发生接触，下部悬臂梁给上部悬臂梁提供了支撑，因而导致系统刚度增加，即荷载位移曲线斜率开始变大;发生接触后，上部悬臂梁端部在下部悬臂梁上开始滑移，随着下部悬臂梁的发生弯曲、变形，它们之间接触力将先增大后减小，因此会导致加载点出现越阶(snap through)现象，直至上部悬臂梁从下部悬臂梁上完全脱落。整个过程和相关文献吻合较好，体现了该方法处理梁-梁接触问题的可行性和有效性。此外，图5(a-f)直观地给出了不同位移加载级下双悬臂梁接触系统的变形情况。
5 结论
结构在大变形后会与周围刚体或自身发生接触或者碰撞，其力学行为会受到很大影响。如果不能及时地对接触行为进行准确处理，就可能出现求解域相互穿透和彼此重叠等不真实现象。本文基于有限质点法提出了梁-梁接触问题的一种显式求解方法，它克服了传统罚函数法和拉格朗日乘子法的缺点，能有效捕捉接触行为发生的完整过程，相关数值算例体现了该方法的可行性。显然该方法不仅仅局限于梁—梁接触，基于线—线模型(如索杆等)的接触问题该方法均适用。此外。该方法亦可扩展到点—面接触问题，将在后续的研究中讨论。
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文/编辑 by NjStructure
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