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在上一篇文章里，我们曾谈到了古希腊早期一些哲学家的数学思想：
数学思想溯源——古希腊哲学中的数学(1)
而我也已经说过，古希腊哲学到苏格拉底时代才迎来它的巅峰时期，诞生了两位最伟大的哲学家：柏拉图和亚里士多德。今天我们就来看一看这两位震古烁今的哲学家对数学方面的思考。
拉斐尔的名画《雅典学院》，正中间的两人，指天者为柏拉图，指地者为亚里士多德
柏拉图
柏拉图可谓是西方哲学的祖师爷，20世纪着名哲学家，英国剑桥大学教授怀特海(Whitehead)曾经说过：“西方2000多年的哲学，不过是给柏拉图的思想做注脚”。柏拉图的哲学可谓是体系庞大，包罗万象，其中最重要的思想就是所谓的“理念论”，而他关于数学的哲学观点，也是构建在理念论之上的。所以要介绍柏拉图的数学哲学，有必要先了解一下什么是理念论。
1.理念论
柏拉图认为存在着两个世界，一个是感官世界，一个是理念世界。感官世界就是你现在身处的这个能看得见的世界，它是由一个个具体的、能看得见摸得着的事物组成。而在此之上的，则是理念世界。理念世界是由一个个抽象的理念组成的，所谓理念，就是同一类事物所共同具有的抽象形式。举个简单的例子，比如你去家具店会碰到各种各样的桌子，高的矮的，三条腿的四条腿的，方的圆的，红的黄的等等，但是这些桌子都有一些共同的特征，比如都是半人高，有腿的，能立起来的，表面平坦可以摆放物品。而正是这些特征使得你把这类事物称之为桌子。如果你碰见一个东西，它巴掌高，上面有口里面凹进去，可以盛放液体，那就不能管他叫桌子而只能叫杯子。因此，共同的一类事物都会有一个共同的抽象形式，按照柏拉图的观点，一张张具体的桌子属于感官世界，这个共同的抽象形式，即理念，则是属于理念世界。
其实，关于具体与抽象的关系，在此之前人们也已经认识到了，但是柏拉图的理念论哲学则坚定地认为，理念世界是一个真实存在的世界，它甚至可以脱离感官世界而存在。意思是即使没有一张张具体的桌子，那也会有一个桌子的抽象形式存在于理念世界中。先有的理念世界，再有的感官世界。感官世界中一个个具体的事物，都是对理念世界中抽象形式的摹仿。
就好比美术学院的学生要画一幅人体素描，模特就是属于理念世界，而学生的一幅幅作品则是属于感官世界。
一句话总结，柏拉图理念论的核心就是：抽象形式可以脱离于具体事物而存在。这一观点可谓是惊世骇俗，对后世的哲学产生了重大影响。尤其是在中世纪，关于唯实论和唯名论的争论到了白热化的程度，其实就是源自于柏拉图的这一思想。
2.数学就是理念
有哲学家认为，柏拉图对数学的思考，是理念论的来源之一。因为数学显然不是具体的事物，而是抽象的形式。在柏拉图的一些弟子中，甚至直接就认为，“数”就是理念，这在某种程度上也是对毕达哥拉斯学派的呼应。而按照理念论的观点，理念是真实存在的，因而数学对象也是真实存在的，它的存在不依赖于时间，空间，人的思维以及现实生活中形形色色的事物。即使没有万事万物，数学中的概念与对象也是存在着的。
理念世界是理性认识的对象，而感官世界则是感官认识的对象。理念世界中的事物是永恒的，不变的，单纯的，感官世界中的对象则是暂时的，变化的，杂多的。因此我们要追求永恒的真理，必须要到理念世界中。数学概念以及数学命题，就是存在于理念世界中的，因此它们就是永恒的真理。
举个例子，比如“2”这个概念，它存在于理念世界中。而在感官世界中，我们则只能看到两个苹果，两张桌子，两只猫或随便的两个什么东西。而“2”这概念是可以独立存在的，即使是没有人见过两个苹果等等，那么“2”这个概念也是存在着的。
因此我们要追求永恒的真理，就必须要运用理性来认识理念世界。两个苹果明天可能就会变成两个苹果核，但是“2”则是永恒不变的。
阐述柏拉图宇宙生成论的重要着作《蒂迈欧篇》（Timaeus）
柏拉图的这一思想，到后世就发展为数学哲学中着名的“柏拉图主义”(Platonism)，直到今天还是数学哲学研究的热门话题。
当然，哲学永无对错，柏拉图的这些观点也会遭到另一些人的反对，而在反对的人中名望最高的，则是他的学生——亚里士多德。
亚里士多德
亚里士多德有一句很着名的话相信很多人都听说过：“吾爱吾师，吾更爱真理”。吾师自然指的是柏拉图，亚里士多德的意思是，虽然我很尊敬我的老师，但是我更加追求真理。隐藏的意思就是，柏拉图的观点不是真理。所以这句话也就表明，亚里士多德走上了一条和柏拉图截然相反的哲学道路。
亚里士多德对柏拉图的反驳
亚里士多德的本体论与柏拉图最大的不同就是，他反对柏拉图认为“理念”可以脱离于具体的事物而独立存在这一观点。亚里士多德有关本体论的思想主要记载在他的《形而上学》中。他认为理念与具体事物是不可分离的，理念是寓于具体事物之中的。没有一个个具体的事物，理念也就不可能存在。
还拿刚才的桌子来举例子，桌子的抽象形式是存在于每一张具体的桌子之中的，而在所有的桌子之外，就没有这个抽象的形式了。所以如果世界上所有的桌子都消失了，那么桌子的这个抽象形式也就消失了。
“形而上学”这个词来源于英文metaphysics，意思是“物理学之上的学问”，即研究事物表面在之后的本质
可以看出，亚里士多德的本体论观点与柏拉图是完全对立的。因此以之为基础的数学哲学，观点自然也是与柏拉图对立的。
既然柏拉图学派把“数”当成一种理念，那么它就不能单独地存在。数学概念也只能是存在于一个个的具体事物之中，不能与其脱离。假如没有两个苹果，两张桌子等等，那么也就不会有“2”这个理念。而“2”这个理念的出现是人们思维的结果，人们从大量的成双的事物中发现了共同的特征，通过思维把它抽象为“2”，因此只有在思维层面，理念和具体事物才是可以分离的。
哈佛大学的校训：与柏拉图为友，与亚里士多德为友，更要与真理为友
如同柏拉图的思想到后世发展为“柏拉图主义”一样，亚里士多德这一截然对立的观点也对后世影响巨大，逐渐形成了所谓的“反柏拉图主义”(Anti-Platonism)。柏拉图主义与反柏拉图主义的争论是数学哲学中关于数学本体论的核心问题。
这里顺便提一句，上面展示的拉斐尔那幅画中，柏拉图和亚里士多德的形象是非常传神的。柏拉图哲学追求的是理想、完美、超越现实，比如他的理念世界就是一个类似于天堂的、纯粹的完美的世界，因此他的手指向天空。而亚里士多德与其相反，他更多思考的是现实世界，感官世界，具体世界，用今天的话讲就是“接地气”，所以他的手是指向地面的。由此可见，拉斐尔对哲学的理解也是很到位的。
实无限与潜无限
“无限”是一个数学家和哲学家到今天都非常着迷的概念，目前关于无限的观点可以归纳为两类：实无限和潜无限。而亚里士多德在数学哲学中的又一伟大贡献就是，第一次明确划分了实无限与潜无限的概念。
关于这两个概念的具体内涵，可以参见我之前的文章：
圆周率π是否存在——浅谈“实无限”与“潜无限”
这里只是简要地再重复一下，“实无限”认为，无限是一个已经完成了的事物，它是一个实实在在存在着的事物，我们可以把它当成一个整体来看待，来思考它的性质。而“潜无限”则认为，无限是一个永不停止，不断延续，没有终点的过程，因为它永无穷尽，所以我们不能把它当成一个已经存在着的整体来把握，因此我们无法来思考无限本身如何如何。好比我们熟悉的自然数，我们无法思考“全体自然数”这个概念，因为每当你找到一个自然数，都可以找到一个它更往后的自然数，这一过程是永无穷尽的，所以根本就不存在“全体自然数”这个东西。
数学上表示无穷大的符号
亚里士多德是历史上第一个对二者作出明确区分的人，而且他还表明了对这两种观点的态度：承认潜无限，而不承认实无限。
亚里士多德给出的理由有两个：第一，感性事物不可能是无限的；第二，作为一种观念，无限也只能是“潜在的”，而不可能是“实在的”。他在自己的着作《物理学》中写到：
“无限只是一个过程，即一种永远处于产生或灭亡中的过程，而不是一个已产生的实体”
这里又要插一句题外话了，当代的数学没有采用亚里士多德的观点，而是采用的是实无限的观点，其实这其中的道理想想也很简单，按照亚里士多德的观点，全体自然数如果都不存在的话，那么全体实数、复数也就更不可能存在了，那么我们数学还怎么发展呢。
结语
古希腊时期是人类思想发展史上的一座高峰，无数哲学家，思想家，科学家，如繁星般点缀在人类思想曙光乍现的天空之中。甚至有人认为，后人很难能达到古希腊时期的高度。因此，多读读古希腊，不仅是了解西方文明与西方思想的一面窗子，也是启迪自己思维智慧的一面镜子。
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