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数学 ，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看
属于形式科学的一种。数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。
而在人类历史发展和社会生活中，数学也发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
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基本信息
中文名称
数学
外文名称
Mathematics（简称Maths或Math）
学科分类
一级学科
相关着作
数学九章 几何原本
代表人物
阿基米德 牛顿 欧拉 高斯等
起源
人类早期的生产活动
释义
研究空间形式和数量关系的科学
术语来源
希腊语
目录
1数学分支
2发展历史
3相关定义
4学科结构
5使用空间
折叠编辑本段数学分支
1：数学史
2：数理逻辑与数学基础 a；演绎逻辑学（也称符号逻辑学）b：证明论（也称元数学）c：递归论 d：模型论 e：公理集合论 f：数学基础 g：数理逻辑与数学基础其他学科
3：数论
a：初等数论 b：解析数论 c：代数数论 d：超越数论 e：丢番图逼近 f：数的几何 g：概率数论 h：计算数论 i：数论其他学科
4：代数学
a：线性代数 b：群论 c：域论 d：李群 e：李代数 f：Kac-Moody代数 g：环论（包括交换环与交换代数，结合环与结合代数，非结合环与非结合代数等）h：模论 i：格论 j：泛代数理论 k：范畴论 l：同调代数 m：代数K理论 n：微分代数 o：代数编码理论 p：代数学其他学科
5：代数几何学
6：几何学
a：几何学基础 b：欧氏几何学 c：非欧几何学（包括黎曼几何学等）d：球面几何学 e：向量和张量分析 f：仿射几何学 g：射影几何学 h：微分几何学 i：分数维几何 j：计算几何学 k：几何学其他学科
7：拓扑学
a：点集拓扑学 b：代数拓扑学 c：同伦论 d：低维拓扑学 e：同调论 f：维数论 g：格上拓扑学 h：纤维丛论 i：几何拓扑学 j：奇点理论 k：微分拓扑学 l：拓扑学其他学科
8：数学分析
a：微分学 b：积分学 c：级数论 d：数学分析其他学科
9：非标准分析
10：函数论
a：实变函数论 b：单复变函数论 c：多复变函数论 d：函数逼近论 e：调和分析 f：复流形 g：特殊函数论 h：函数论其他学科
11：常微分方程
a：定性理论 b：稳定性理论 c：解析理论 d：常微分方程其他学科
12：偏微分方程
a：椭圆型偏微分方程 b：双曲型偏微分方程 c：抛物型偏微分方程 d：非线性偏微分方程 e：偏微分方程其他学科
13：动力系统
a：微分动力系统 b：拓扑动力系统 c：复动力系统 d：动力系统其他学科
14：积分方程
15：泛函分析
a：线性算子理论 b：变分法 c：拓扑线性空间 d：希尔伯特空间 e：函数空间 f：巴拿赫空间 g：算子代数 h：测度与积分 i：广义函数论 j：非线性泛函分析 k：泛函分析其他学科
16：计算数学
a：插值法与逼近论 b：常微分方程数值解 c：偏微分方程数值解 d：积分方程数值解 e：数值代数 f：连续问题离散化方法 g：随机数值实验 h：误差分析 i：计算数学其他学科
17:概率论
a：几何概率 b：概率分布 c：极限理论 d：随机过程（包括正态过程与平稳过程、点过程等） e：马尔可夫过程 f：随机分析 g：鞅论 h：应用概率论（具体应用入有关学科）i：概率论其他学科
18：数理统计学
a：抽样理论（包括抽样分布、抽样调查等 ）b：假设检验 c：非参数统计 d：方差分析 e：相关回归分析 f：统计推断 g：贝叶斯统计（包括参数估计等）h：试验设计 i：多元分析 j：统计判决理论 k：时间序列分析 l：数理统计学其他学科
19：应用统计数学
a：统计质量控制 b：可靠性数学 c：保险数学 d：统计模拟
20：应用统计数学其他学科
21：运筹学
a：线性规划 b：非线性规划 c：动态规划 d：组合最优化 e：参数规划 f：整数规划 g：随机规划 h：排队论 i：对策论，也称博弈论 j：库存论 k：决策论 l：搜索论 m：图论 n：统筹论 o：最优化 p：运筹学其他学科
22：组合数学
23：模糊数学
24：量子数学
25：应用数学（具体应用入有关学科）
26：数学其他学科
折叠编辑本段发展历史
数学（汉语拼音：shù xué；希腊语：μαθηματικ；英语：Mathematics或Maths），源自于古希腊语的μθημα（máthēma），有学习、学问、科学之意。古希腊学者视其为哲学之起点，“学问的基础”。另外，还有个较狭隘且技术性的意义——“数学研究”。即使在其语源内，其形容词意义凡与学习有关的，亦被用来指数学。
其在英语的复数形式，及在法语中的复数形式+es成mathématiques，可溯至拉丁文的中性复数（Mathematica），由西塞罗译自希腊文复数τα μαθηματικά（ta mathēmatiká）。
在中国古代，数学叫作算术，又称算学，最后才改为数学。中国古代的算术是六艺之一（六艺中称为“数”）。
数学起源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识，并能应用实际问题。从数学本身看，他们的数学知识也只是观察和经验所得，没有综合结论和证明，但也要充分肯定他们对数学所做出的贡献。
基础数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一部分。其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本内便可观见。从那时开始，其发展便持续不断地有小幅度的进展。但当时的代数学和几何学长久以来仍处于独立的状态。
代数学可以说是最为人们广泛接受的“数学”。可以说每一个人从小时候开始学数数起，最先接触到的数学就是代数学。而数学作为一个研究“数”的学科，代数学也是数学最重要的组成部分之一。几何学则是最早开始被人们研究的数学分支。
直到16世纪的文艺复兴时期，笛卡尔创立了解析几何，将当时完全分开的代数和几何学联系到了一起。从那以后，我们终于可以用计算证明几何学的定理；同时也可以用图形来形象的表示抽象的代数方程。而其后更发展出更加精微的微积分。
现时数学已包括多个分支。创立于二十世纪三十年代的法国的布尔巴基学派则认为：数学，至少纯数学，是研究抽象结构的理论。结构，就是以初始概念和公理出发的演绎系统。他们认为，数学有三种基本的母结构：代数结构（群，环，域，格……）、序结构（偏序，全序……）、拓扑结构（邻域，极限，连通性，维数……）。
数学被应用在很多不同的领域上，包括科学、工程、医学和经济学等。数学在这些领域的应用一般被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现，并促成全新数学学科的发展。数学家也研究纯数学，也就是数学本身，而不以任何实际应用为目标。虽然有许多工作以研究纯数学为开端，但之后也许会发现合适的应用。
具体的，有用来探索由数学核心至其他领域上之间的连结的子领域：由逻辑、集合论（数学基础）、至不同科学的经验上的数学（应用数学）、以较近代的对于不确定性的研究（混沌、模糊数学）。
就纵度而言，在数学各自领域上的探索亦越发深入。
折叠西方数学简史
数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展．而东西方文化也采用了不同的角度，欧洲文明发展出来几何学，而中国则发展出算术．第一个被抽象化的概念大概是数字（中国的算筹），其对两个苹果及两个橘子之间有某样相同事物的认知是人类思想的一大突破．除了认知到如何去数实际物件的数量，史前的人类亦了解如何去数抽象概念的数量，如时间—日、季节和年．算术（加减乘除）也自然而然地产生了．
更进一步则需要写作或其他可记录数字的系统，如符木或于印加人使用的奇普．历史上曾有过许多各异的记数系统．
古时，数学内的主要原理是为了研究天文，土地粮食作物的合理分配，税务和贸易等相关的计算．数学也就是为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的．这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构、空间及时间方面的研究．
西欧从古希腊到16世纪经过文艺复兴时代，初等代数、以及三角学等初等数学已大体完备．但尚未出现极限的概念．
17世纪在欧洲变量概念的产生，使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换．在经典力学的建立过程中，结合了几何精密思想的微积分的方法被发明．随着自然科学和技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等领域也开始慢慢发展．
折叠中国数学简史
主条目：中国数学史
数学古称算学，是中国古代科学中一门重要的学科，根据中国古代数学发展的特点，可以分为五个时期：萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合。
折叠编辑本段相关定义
亚里士多德把数学定义为“数量数学，这个定义直到18世纪。从19世纪开始，数学研究越来越严格，开始涉及与数量和量度无明确关系的群论和投影几何等抽象主题，数学家和哲学家开始提出各种新的定义。这些定义中的一些强调了大量数学的演绎性质，一些强调了它的抽象性，一些强调数学中的某些话题。即使在专业人士中，对数学的定义也没有达成共识。数学是否是艺术或科学，甚至没有一致意见。许多专业数学家对数学的定义不感兴趣，或者认为它是不可定义的。有些只是说，“数学是数学家做的。”
数学定义的三个主要类型被称为逻辑学家，直觉主义者和形式主义者，每个都反映了不同的哲学思想学派。都有严重的问题，没有人普遍接受，没有和解似乎是可行的。
数学逻辑的早期定义是本杰明·皮尔士（Benjamin Peirce）的“得出必要结论的科学”（1870）。在Principia Mathematica，Bertrand Russell和Alfred North Whitehead提出了被称为逻辑主义的哲学程序，并试图证明所有的数学概念，陈述和原则都可以用符号逻辑来定义和证明。数学的逻辑学定义是罗素的“所有数学是符号逻辑”（1903）。
直觉主义定义，从数学家L.E.J. Brouwer，识别具有某些精神现象的数学。直觉主义定义的一个例子是“数学是一个接着一个进行构造的心理活动”。直观主义的特点是它拒绝根据其他定义认为有效的一些数学思想。特别是，虽然其他数学哲学允许可以被证明存在的对象，即使它们不能被构造，但直觉主义只允许可以实际构建的数学对象。
正式主义定义用其符号和操作规则来确定数学。 Haskell Curry将数学简单地定义为“正式系统的科学”。正式系统是一组符号，或令牌，还有一些规则告诉令牌如何组合成公式。在正式系统中，公理一词具有特殊意义，与“不言而喻的真理”的普通含义不同。在正式系统中，公理是包含在给定的正式系统中的令牌的组合，而不需要使用系统的规则导出。
折叠编辑本段学科结构
许多如数、函数、几何等的数学对象反应出了定义在其中连续运算或关系的内部结构。数学就研究这些结构的性质，例如：数论研究整数在算数运算下如何表示。此外，不同结构却有着相似的性质的事情时常发生，这使得通过进一步的抽象，然后通过对一类结构用公理描述他们的状态变得可能，需要研究的就是在所有的结构里找出满足这些公理的结构。因此，我们可以学习群、环、域和其他的抽象系统．把这些研究（通过由代数运算定义的结构）可以组成抽象代数的领域。由于抽象代数具有极大的通用性，它时常可以被应用于一些似乎不相关的问题，例如一些古老的尺规作图的问题终于使用了伽罗瓦理论解决了，它涉及到域论和群论。代数理论的另外一个例子是线性代数，它对其元素具有数量和方向性的向量空间做出了一般性的研究。这些现象表明了原来被认为不相关的几何和代数实际上具有强力的相关性。组合数学研究列举满足给定结构的数对象的方法。
折叠编辑本段使用空间
空间的研究源自于欧式几何．三角学则结合了空间及数，且包含有非常着名的勾股定理、三角函数等。现今对空间的研究更推广到了更高维的几何、非欧几何及拓扑学。数和空间在解析几何、微分几何和代数几何中都有着很重要的角色。在微分几何中有着纤维丛及流形上的计算等概念。在代数几何中有着如多项式方程的解集等几何对象的描述，结合了数和空间的概念；亦有着拓扑群的研究，结合了结构与空间。李群被用来研究空间、结构及变化。
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