心得体会

一道与三角零点距离有关的导数问题

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最近有同学问了下面的一道题目:

第一问很简单,第二问的这种形式自己可以回忆一下在哪里见过类似的题目,先看下面的几道题目:

上述题目均为函数与零点相关的问题,求两个或多个零点之间运算的取值范围,这种题目较为常用的解法是消元和转化,即当有多个零点参与运算时,可通过函数的对称性减少未知量的个数,若只存在两个变量,可试图找变量之间的转化关系,转化为只含有一个变量且能确定出变量范围的函数问题,若两个变量之间不存在明显的转化关系,可分别求出各自的范围,再求整体的范围,再或者利用几何关系找到取得最值时的条件。

在一开始给出的题目中,极值点可看做导函数正负分界的零点,求导如下:

若此时设g(x)=xsinx xcosx-sinx,显然g(x)不是周期函数,零点单调性均无法直接判断,求导之后g"(x)=sinx xcosx-xsinx也无法求根或判断单调性,即便再求二阶导也无济于事,单调性无法判断,零点所在区间也无法判断,问题在于设的函数有问题,如果发现g(x) g"(x)是一个能求根和判断正负的式子之后,就知道所设的g(x)应该为g(x)=e^x*(xsinx xcosx-sinx),题目做不出来很可能就卡住这里了。

判断出g(x)的单调区间后根据单调性就可以分别确定出x1,x2的取值范围了。

若设x1<x2,即用x2的左区间端点值减去x1右端点值,上面过程一开始确定的x1的右端点值为π 2kπ,x2的左端点值为3π/2 2kπ,两者相减并不是所求的3π/4,因此可调整x1的右端点值或者调整x2的左端点值都可,使之相减为所需的值即可,上述过程中是调整了x1的右端点值。

这个题目有迷惑性,在常见的二阶导数中,我们习惯把分式中不能确定正负的部分单独设为一个函数,例如本题目中很容易把g(x)设成xsinx xcosx-sinx,而二阶导的目的是能得到一个可求零点或者判断正负的函数,希望本题目给提一个醒吧。

另外若把零点看做是两函数图像的交点,零点可转化为方程sinx cosx=sinx/x的交点,若分别作出y=sinx cosx和y=sinx/x的图像,y=sinx cosx为常见的三角函数,y=sinx/x在x>0时是一个收敛函数,当x→ ∞时,函数值趋近于0,所以当x逐渐变大时,相邻两个零点之间的距离越接近于y=sinx cosx周期的一般,即π,若研究y=sinx cosx-sinx/x的图像,会发现当x大于某数值后,sinx/x→0,函数基本上可看做是周期函数y=sinx cosx,图像如下:

上面为题目的一些扩展,不可用来解题,函数y=sinx cosx-sinx/x虽不是周期函数,但有周期函数的某些特征,这让人联想到2019年全国2理科的第12题中类周期函数的问题,有关类周期函数的题目,在资料整理足够的时候会专门写一篇。

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